Logische Gatter


Ein Computer kennt nur die beiden Zustände 1 und 0. Diese beiden Zustand nennen wir jeweils ein Bit. Alles, was wir auf einem Monitor sehen oder als Audioausgabe hören, entsteht durch die logische Kombination von Bits.

  • Das Bit 1 kann man in einem Stromkreis erzeugen, indem z.B. Strom fließt und deswegen eine LED leuchtet.
  • Das Bit 0 kann man erzeugen, indem kein Strom fließt und deswegen die LED nicht leuchtet.

Die technischen Details, wie eine solche Schaltung aus Kabeln, Widerständen, Spannungsquellen und Halbleiterbauteilen tatsächlich gebaut wird, soll jetzt im Hintergrund stehen. Sie sollen mit Hilfe einer Simulation nachvollziehen, wie man mit Hilfe von geeigneten Regeln die beiden Bits 1 und 0 logisch so kombinieren kann, dass es möglich ist, damit zu rechnen.

Es genügt aber nicht, dass eine Schaltung lediglich rechnen kann, um einen Computer damit zu bauen. Die Schaltung muss auch in der Lage sein, sich eine Folge von Bits zu merken - es muss also möglich sein, Daten zu speichern. Auch das sollen Sie im folgenden kennenlernen.

Die Bits 1 und 0 können mit geeigneten elektrischen Bauteilen verändert werden. Solche Bauteile werden Logik-Gatter genannt.


NOT-Gatter

Die einfachste Änderung eines Zustands ist das Umschalten von 1 zu 0 oder von 0 zu 1. Das Logik-Gatter, welches das macht, heißt NOT-Gatter (das englische "not" bedeutet "nicht", bitte nicht mit dem deutschen Hauptwort "Not" verwechseln). In der Logik ist "falsch" das Gegenteil von "wahr". Wenn etwas also "NICHT wahr" ist, dann ist es "falsch". Auf englisch: Aus "NOT true" wird "false". Wenn wir "1 = true" und "0 = false" setzen, dann gilt:

\(\text{NOT} \, 1 = 0\) bzw. \(\text{NOT} \, 0 = 1\)

oder in Kurzschreibweise:

\(\neg \, 1 = 0\) bzw. \(\neg \, 0 = 1\)

Als Tabelle:

Zustand Z1 \(\neg\) Z1
0 1
1 0

Klicken Sie in der folgenden Simulation mit der Maus auf das linke Eingabe-Bit. Das NOT-Gatter macht daraus immer das andere Bit.


AND-Gatter

Zwei Bits können logisch kombiniert werden. Das AND-Gatter ist wie folgt festgelegt worden: die Kombination der beiden Bits ist nur dann 1, wenn beide Bits 1 sind, sonst 0.

AND wird mit \(\land\) abgekürzt.

oder in Kurzschreibweise:

\(1 \land 1 = 1\)
\(1 \land 0 = 0\)
\(0 \land 1 = 0\)
\(0 \land 0 = 0\)

Als Tabelle:

Z1 Z2 Z1 \(\land\) Z2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Simulation: Verändern Sie mit der linken Maustaste die Eingabe-Bits.


OR-Gatter

Das OR-Gatter ist wie folgt festgelegt worden: die Kombination der beiden Bits ist nur dann 0, wenn beide Bits 0 sind, sonst 1.

OR wird mit \(\lor\) abgekürzt.

oder in Kurzschreibweise:

\(1 \lor 1 = 1\)
\(1 \lor 0 = 1\)
\(0 \lor 1 = 1\)
\(0 \lor 0 = 0\)

Als Tabelle:

Z1 Z2 Z1 \(\lor\) Z2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Simulation: Verändern Sie mit der linken Maustaste die Eingabe-Bits.


Kombination von Gattern

Die drei logischen Grundgatter NOT, AND und OR können kombiniert werden.

Aufgabe 1:

Erstellen Sie zu der folgenden Schaltung eine Schalttabelle

Notieren Sie die Schaltung in logischer Notation mit den Symbolen \(\neg\), \(\land\), und \(\lor\).

Lösung: Es sei A1 der Ausgang der logischen Schaltung

Z1 Z2 A1
1 1 0
1 0 0
0 1 1
0 0 0

Logischer Ausdruck: \(\neg \, \rm{Z1} \land \rm{Z2} = \rm{A1}\)


Aufgabe 2:

Erstellen Sie zur folgenden Schaltung eine Schalttabelle

Notieren Sie die Schaltung in logischer Notation mit den Symbolen \(\neg\), \(\land\), und \(\lor\).

Mögliche Lösung: hier klicken...

Es sei A1 der Ausgang der logischen Schaltung. Stellen Sie alle möglichen Schaltzustände ein und notieren Sie den Ausgangszustand.

Z1 Z2 Z3 A1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0

Anleitung für die Entwicklung des logischen Ausdrucks auf Basis der Schalttabelle:

  • Suchen Sie alle Zeilen in der Schalttabelle in welchen A1 den Zustand 1 hat.
  • Negieren Sie für jede gefundene Zeile die Zustände, die Null sind.
  • kombinieren Sie die Zustände jeder Zeile mit AND und schreiben Sie diese in eine Klammer.
  • kombinieren Sie die Klammern mit OR.

Logischer Ausdruck: \((\neg \, \rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \rm{Z3}) \lor (\neg \, \rm{Z1} \land \rm{Z2} \land \rm{Z3}) \lor (\rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \neg \, \rm{Z3}) = \rm{A1}\)


Aufgabe 3:

Notieren Sie zur folgenden Schalttabelle die logische Notation mit den Symbolen \(\neg\), \(\land\), und \(\lor\).

Entwickeln Sie eine Schaltung, welche die Schalttabelle richtig simuliert.

Es sei A1 der Ausgang der logischen Schaltung.

Z1 Z2 Z3 A1
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Mögliche Lösung: hier klicken...

Anleitung für die Entwicklung des logischen Ausdrucks auf Basis der Schalttabelle:

  • Suchen Sie alle Zeilen in der Schalttabelle in welchen A1 den Zustand 1 ist.
  • Negieren Sie für jede gefundene Zeile die Zustände, die Null sind.
  • kombinieren Sie die Zustände jeder Zeile mit AND und schreiben Sie diese in eine Klammer.
  • kombinieren Sie die Klammern mit OR.

Logischer Ausdruck: \((\neg \, \rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \neg \, \rm{Z3}) \lor (\neg \, \rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \rm{Z3}) \lor (\rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \neg \, \rm{Z3}) \lor (\rm{Z1} \land \neg \, \rm{Z2} \land \rm{Z3}) = \rm{A1}\)

Öffnen Sie folgenden Online-Schaltungseditor: CircuitVerse.

Anleitung für die Entwicklung der logischen Schaltung auf Basis des logischen Ausdrucks:

  • Fügen Sie die drei Eingabezustände Z1, Z2, Z3 und den Ausgabezustand A1 ein.
  • Fügen Sie für jede Klammer des logischen Ausdrucks ein AND-Gatter mit drei Eingängen ein, also 4 AND-Gatter.
  • Setzen Sie für ein NOT in jeder Klammer ein NOT-Gatter von oben nach unten vor den Eingang des AND-Gatters
  • Fügen Sie ein OR-Gatter mit Eingängen für jedes AND-Gatter (also 4) hinter den AND-Gattern ein.
  • Verbinden Sie Z1 jeweils mit den oberen Eingängen der AND-Gatter, Z2 mit den mittleren und Z3 mit den unteren Eingängen und verbinden Sie - falls vorhanden - zuerst das NOT-Gatter mit den Eingängen und dem entsprechenden AND-Gatter.
  • Verbinden Sie die AND-Gatter mit dem OR-Gatter.
  • Verbinden Sie das OR-Gatter mit A1.

Klicken Sie auf "Fullscreen", um die Simulation sichtbar zu machen.